[讨论]数学奥林匹克升级题

01-1． 李庄的每一位男孩所认识的所有女孩都彼此认识，而每一个女孩所认识的男孩都比她所认识的女孩多。证明：李庄的男孩不少于女孩。 



01-2．数列1，9，8，2，…自第5项起，每一项都等于它前面四项之和的个位数。试问，是否在该数列中有连续的四项为3，0，4，4。 

01-3． 试画出一个图形，使得用它不能覆盖一个半径为1的半圆；但用两个这样的图形却可以覆盖一个半径为1的圆。 

01-4． 在国际象棋棋盘上画圆，使圆周只经过黑色方格。试问，这种圆的半径最大可能为多少？ 

01-5． 有一个插座，其边缘上均匀地分布着6个插孔；还有一个与之相应的插头。插座上的插洞被按某种方式编为1至6号，插头上的插栓也作了相应的编号。证明：可以把插头插入插座，使得所有插栓都不插在对号的插孔内。如果插孔和插栓的数目是7啦？ 

01-6．  一个图具有n个顶点，每个顶点的度数*不超过5。证明：可以把每个顶点都染为3个颜色之一，使得两个端点同色的边的数目不多于n/2。 
*注： 度数，是又给定顶点所连出的边的数目，称为该顶点的度数 

01-7． 宇宙空间中飞行着2005架航天飞机，每一架航天飞机上有一位天文学家。航天飞机之间的距离各不相等，每位天文学家都在观察离自己最近的另一架航天飞机。证明：至少有一架航天飞机无人观察。 

01-8． （1）桌面上放着一些直径相同的硬币。证明：其中有的硬币至多与3枚其他硬币相切。（2）对于直径不尽相同的硬币，证明：有的硬币至多与5枚其他硬币相切。 

01-9． 若干条线段覆盖了区间[0，1]。可以从这些线段中选出若干条互不相交的线段来，它们的长度之和不小于1/2。 

01-10．眼花缭乱：正方形的各边9等分，过各分点及顶点在正方形内作另一边及两对角线的平行线，在这个图中有三角形和梯形的个数分别是多少？如果n等分它们的该数分别又是多少？
02-1。 能否将正方形分为若干个钝角三角形？



02-2。如何将一个任意三角形分成三部分，使得可用他们拼成一个矩形？



02-3。 黑板上写着1个1。每一秒钟都将黑板上的数增加上它的各位数字之和。试问，能否经过有限一端时间后，在黑板上出现数123456？



02-4。（1）试找出一个七位数，它的各位数字各不相同，它还可被自己的每一位数整除。 （2） 是否存在这样的八位数？



02-5。求出19^100的各位数字之和，再求出所得之和得各位数字之和，并一直如此进行下去，直至得到一个一位数。该一位数是多少？



02-6。 30把椅子排成一行，随时又人走过来坐在空椅上。但是每当又一个人坐下时，便有一个坐在他邻座上的人起身离开（只要他的邻座上原来有人）。试问，最多可以有多少把椅子上同时坐着人，如果：1） 原来30把椅子全是空的； 2）原来有10把椅子坐着人。



02-7。 给定一张20x30的方格纸，能否作一条直线穿过纸上50个方格的内部？



02-8。 已知自然数a,b,c,d都可以被ab-cd整除。证明：ab-cd 等于1或-1。



02-9。 一堆火柴共3001根。 每人每次可从中取走p^n根（n=0,1,2,... ）,p为小于3001任意一个给定质数。谁取得最后一根火柴，就算谁赢，谁有必胜的策略？



02-10。在（1）19x91；（2）19x92的方格中，每人每次涂黑1个或多个小方格，使之成为正方形。已被涂黑的方格不许再涂。谁涂黑了最后一个方格，就算谁赢，谁有必胜的策略？

03-1.求出Fibonacci 小数的和是多少?第n个Fibonacci 小数是把第n个Fibonacci数右移n位所得的数,如下所示: 

0.1
0.01
0.002
0.0003
0.00005
0.000008
……………………… 
0.112359… = ? 

03-2.找出一个最小整数,使得其首位为7,当将首位调到末位时,其值为原数的1/3.

03-3.试在平面上标出7个点，使得其中任何3个点都有某两个点的距离等于1。

03-4.6枚5分硬币方在桌面上形成一个‘闭链’。另有1枚5分硬币贴着‘闭链’的外侧边缘作无滑动的转动，依次以外切状态转过链上的所有硬币。它需要转过多少转后回到初始状态？ 

03-5.试求所有的自然数n，使得n^n+1为不超过19位的质数。

[**]03-6. 数列a（n）具有如下性质：a（1）=1,而对任何n，有a（n+1）-a（n）等于0或1。现知对某个n，有a（n）=n/1000. 证明：存在某个m，使a（m）=m/500. 


[**]03-7.一个圆由两个正方形所完全覆盖,正方形的边长为1米,问圆的最大直径为多少?
1.[★★]从29x29的方格纸上剪下了99个正方形，它们都由4个方格组成。证明：从这张方格纸上还可以再剪出一个这样的正方形。



2[★★] 在平面上给定一个半径为1的圆和5条与圆相交的直线。平面上有一点x与圆心的距离为11.1。证明：如果作x关于第一条直线的对称点x1,再作x1关于第二条直线的对称点x2，如此下去，最终得到x5，则x5不可能位于给定的圆内。




3. [★★] 自然数y是由重排自然数x的各位数字后得到的。今知x+y=10^200,证明：x是50的倍数。




4[★★] 在直线上给定若干条线段，其中任何两条线段都相交。证明：必有一个点属于所有这些线段。




5[★★★] ΔABC的3个顶点都位于坐标平面的整点之上（两个坐标都为整数的点称为整点，又称格点）。现知|AB|>|AC|。证明：|AB|-|AC|>1/p， p是ΔABC的周长。




6[★★] 平面被染为（1）两种；（2）3种；（3）100种不同颜色。证明：从中可以找出各个顶点都为同一颜色的矩形。




7[★★]. 黑板上写有1,2,...,n。每分钟小李擦掉两个数a,b,然后写上a+b+ab。显然n-1分钟后，黑板上只剩下一个数。问最后剩下的数和操作顺序有关吗？对怎样的n最后的得数是奇数？




8.[★★★] 设a（1）=3，且对n≥1有a（n+1）=（3a（n）^2+1）/2 – a（n），如果 n是3的方幂, 证明n∣a（n） 。




9.[★★★] 一个domino是一个1x2或2x1的矩形, 平面某一区域的domino拼铺是全用domino无重叠地覆盖这一区域。问一个3xN的矩形有多少种domino拼铺？




10.[ ★★★★] 设 S={1,2,…,n}, T是S的所有非空子集构成的集合。若函数f: T→S满足：对任意A,B∈T，如果A是B的真子集，则有f（A）≠f（B），则称f为garish的。问有多少garish的函数，并证明你的结论。
5-1.[★]对于三角形ABC，其内切圆与外接圆半径分别为r和R、圆心分别为P与O，求P与O的距离。



5-2[★★]注意到 959^2=919681,919+681=40^2； 960^=921600, 921+600=39^2； 961^2=923521,923+521=38^2. 试对于这种情况建立一个一般的规律。

5-3[★★] 解函数方程： f（x+2f（y））=f（x）+y+f（y）


5-4[★★]如果圆上有16个点，问以这些点为顶点最多可以有多少个锐角三角形？




5-5[★★★]设S1，S2，S3，…，是一列两两不交的整数集，每个集合中恰有2个元素，并且，Sn中的元素的和恰好是n。证明：有无穷多个n，使得Sn中存在一个大于13n/7的元素。




5-6[★★★]一个2n 位的数字的牌照号码，如果前n位数字之和等于后n位数字之和，我们就称这2n位数字牌照号为幸运数。牌照号可以以0开头。 

1） 计算6位幸运数的个数； 
2） 计算8位幸运数的个数； 
3） 计算10位幸运数的个数； 
4） 计算2进制的2n位幸运数的个数； 
5） 计算m进制的2n位幸运数的个数。 


5-7[★★★]考虑平面中 3n个不同的点组成的集合M，任两点之间的距离不超过1。证明： 

1） 对M的任何四点中，至少有两个点，其距离不超过√2 / 2。 
2） 如果n=2，对于任何ε>0，存在六个点的构型，使其12个距离属于区间（1-ε，1），但不存在这样的构形，使至少13个距离属于（√2/2，1）。 
3） 存在一个半径不超过√3/3的圆，含了所有的点。 
4） M中存在两点，其距离不超过4/（3√n - √3）。